Versinken im Treibsand - ein Millenium-Problem...

„Treibsand“ ist genaugenommen eine Dispersion von feinem Sand und Wasser, wie sie in der Natur nur selten vorkommt (berüchtigt ist in diesem Zusammenhang der Rand des Namak-Sees im Iran - aber dass in dessen Treibsand Menschen auf Nimmerwiedersehen versinken, wie Einheimische gern behaupten, ist trotzdem nur ein Märchen). Man bekommt ihn höchstens einmal im Fernsehen oder im Kino zu Gesicht, wenn man sich Abenteuerfilme der frühen 1960er Jahre anschaut. Denn damals war das „Versinken“ im Treibsand ein beliebtes Stilmittel zur Erhöhung der Spannung der jeweiligen Handlung (denn je mehr sich das Opfer bewegte, um sich zu befreien, desto schneller versank es im Sand - eine grauenhafte Vorstellung). Man denke hier nur an das mit sieben Oscars gekrönte Werk „Lawrence von Arabien“ mit Peter O’Toole und Omar Sharif in den Hauptrollen. Dort gibt es eine sehr eindrucksvolle Szene, in der einer der Diener von T.E. Lawrence (der meisterhaft von Peter O’Toole gespielt wurde) vor den Augen seines Herrn, ohne dass der ihm helfen konnte, im Treibsand versinkt. Nur ist diese Szene nicht gerade physikalisch exakt dargestellt. Aufgrund der hohen Gesamtdichte der Wasser-Sand-Dispersion wird nämlich ein Mensch darin nicht weiter als, sagen wir, bis zum Bauch, einsinken können, da die Dichte des menschlichen Körpers immer geringer ist als die des Treibsandes. Aber ohne Hilfe von außen wird sich ein Mensch trotzdem in den meisten Fällen nicht aus dieser misslichen Lage befreien können - da er quasi im „Schlamm“ stecken bleibt.

Und nun noch ein paar Worte zur Erklärung des Phänomens einer solchen dilatanten Treibsanddispersion: In Ruhe liegen in ihr die feinen Sandkörner dicht gepackt vor, wobei die Zwischenräume zwischen den Körnern vollständig mit Wasser gefüllt sind. Wird dieses Gemenge nun einer Scherbelastung ausgesetzt, so gleiten die Sandpartikel aneinander vorbei, wobei das Wasser gewissermaßen als Schmiermittel wirkt und damit die Reibung insgesamt herabsetzt. Ein Körper (z. B. unser Hammer im Beispiel des Maisstärkebreis) wird dann mit einer von der Scherrate abhängigen Geschwindigkeit einsinken. Steigt die Scherbelastung an (Hammerschlag), so wird der Abstand zwischen den Sandkörnern etwas größer und der sie verbindende Wasserfilm reißt mit dem Effekt, dass die Schmierwirkung abnimmt und der Reibungswiderstand entsprechend stark ansteigt.

Übrigens, wenn man ein Schwimmbecken mit der bereits erwähnten zähflüssigen Maisstärkedispersion füllt, dann kann man es Jesus gleichtun (z. B. Johannes 6, 16-21) und mit schnellen Schritten darüber laufen ohne zu versinken. Wenn man aber stehenbleibt, geht es einem wie dem berühmten Taucher in Arthur Schramms bekannten Zweizeiler ...

Normale Flüssigkeiten sind in ihren fluiden Eigenschaften im Vergleich zu dilatanten Flüssigkeiten auf dem ersten Blick sehr einfach strukturiert. Man kann für sie analog zu dem berühmten Newtonschen Bewegungsgesetz, nach der „Kraft = (träge) Masse mal Beschleunigung“ ist, auch eine Bewegungsgleichung aufstellen, welche in der Lage ist, alle Strömungsphänomene „newtonscher Flüssigkeiten und Gase“ grundsätzlich zu beschreiben. Man nennt sie nach ihren Urhebern „Navier-Stokes-Gleichung“.

Um Sie etwas zu erschrecken, möchte ich die Gleichungen (es handelt sich um ein System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen) hier mal kurz aufschreiben, ohne sie aber gebührend erklären zu wollen oder auch nur zu können (dafür gibt es umfangreiche Fachliteratur). Es geht hier lediglich um die „Optik“, damit Sie einmal sehen, mit was sich Mathematiker, Physiker, Meteorologen sowie Ingenieure aus dem Fachbereich der Strömungsmechanik beruflich so herumschlagen müssen:

Navier-Stokes-Gleichungen

Die Anwendungsfälle dieses Gleichungssystems sind enorm. Man benötigt es beispielsweise, um die Windschnittigkeit von PKW zu optimieren sowie für die Berechnung der Flügelprofile und der Auslegung der Triebwerke moderner Passagier- und Kampfflugzeuge. Astrophysiker benutzen es, um „Jets“, die aus den Kernen aktiver Galaxien (Quasare) herausschießen, mathematisch zu simulieren und um auf diese Weise ihre Funktionsprinzipien immer besser zu verstehen. Für den Meteorologen, der sich mit den komplexen Strömungsvorgänge in der unteren Erdatmosphäre auseinander setzen muss, sind sie genauso unverzichtbar wie für den Ingenieur, dessen Aufgabe beispielsweise in der Entwicklung moderner Kraftwerksanlagen oder Schiffsantrieben liegt. Kurz gesagt, die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein Gleichungssystem mit überragender praktischer Relevanz. Und hier liegt auch schon das Problem. Man weiß bis heute nicht (bis auf ein paar triviale Einzelfälle), wie man sie exakt (d. h. analytisch) lösen kann. „Numerisch“ - d. h. mit Hilfe von Computern - Näherungslösungen für alle möglichen Anwendungsfälle zu finden, ist dagegen kein Problem mehr. Trotzdem wäre es von allergrößter Bedeutung zu beweisen, dass es für die Navier-Stokes-Gleichungen exakte Lösungen gibt - und zwar egal, wie die Anfangsbedingungen aussehen. Denn dann könnte man deren zeitliches Verhalten quasi determiniert erforschen und so zu neuen Einsichten in komplexe dynamische Systeme, die oft mit dem Begriff des deterministischen Chaos verbunden werden, gelangen. Man denke hier an die kurzfristige Wetter und langfristige Klimavorhersage, an die Bewegung von Planeten und Planetoiden um Sterne (Stichwort n-Körperproblem), an komplexe Lebensvorgänge oder an die Entwicklung von Börsenkursen, die sich im Detail bekanntlich kaum vorhersagen lassen. Aus diesem Grund wurde die Frage nach exakten Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen auch in die Liste der 7 „Milleniumsprobleme“ der Mathematik aufgenommen, für deren Lösung jeweils ein Preisgeld von einer Million US-Dollar ausgelobt sind. Wer also Zeit und Muße hat und obendrein noch eine Million Dollar verdienen möchte...

Übrigens, bis heute (2017) konnte nur eines von diesen sieben Problemen gelöst werden, die sogenannte Poincaré-Vermutung. In die Überprüfung der Lösung wurden allein mehrere Jahre Arbeit hochkarätiger Spezialisten investiert, bis die Gemeinde der Mathematiker sicher war, dass der von dem extravaganten russischen Mathematiker Grigori Perelman vorgelegte (aber niemals von ihm selbst in einer mathematischen Fachzeitschrift veröffentlichte) Beweis korrekt ist. Von der Öffentlichkeit ist dabei weniger die intellektuelle Leistung des mittlerweile freiwillig arbeitslosen Mathematikers als dessen Weigerung, sowohl die Fields-Medaille (quasi der „Nobelpreis“ für junge Mathematiker) als auch das Preisgeld anzunehmen, mit Aufmerksamkeit bedacht worden. Übrigens, wer einmal etwas Anspruchsvolleres als diesen Text lesen möchte, die Arbeiten von Grigori Perelman sind leicht im Internet zu finden (ArXiv)…

Realität und Vorstellung oder warum es manchmal zur Massenvermehrung von Schmetterlingsraupen kommt

Die Mathematik ist nicht nur die Sprache, in der man die Grundgesetze der Physik formuliert sowie andere Gesetze daraus ableitet. Sie ist auch die Sprache, in der man zu neuen Hypothesen und Einsichten über die Natur gelangt, die zumindest prinzipiell der experimentellen Überprüfung zugänglich sind. 

Auf einen weiteren Aspekt der mathematischen Naturbeschreibung möchte ich nun hinweisen. Gewöhnlich beschreiben wir die Welt mit Begriffen, die in uns so etwas wie „Bilder“ assoziieren. Diese „Bilder“ entstammen unserer Erfahrung aus einer „mittleren“ Welt, deren typische Skalen sich in Millimeter bis Kilometer messen lassen. Diese „Bilder“ verwenden wir aber auch, wenn wir z. B. gedanklich in die Mikrowelt vorstoßen, in dem wir uns Atome, aber auch Elementarteilchen, als kleine Kugeln vorstellen. Gewöhnlich hält ein Nichtphysiker dieses „Bild“ sogar als reale, adäquate Vorstellung von Mikroobjekten. Das ist aber nicht der Fall, wie uns die Quantenmechanik lehrt. Mit Vorstellungen aus der Welt der mittleren Skalen kommt man hier nicht weit, wenn es um Superposition, Verschränkung oder Welle-Teilchen-Dualismus geht. Hier benötigt man völlig neue Strukturen und Begrifflichkeiten, die weitab unseres normalen Vorstellungsvermögens liegen. Sie entstammen wiederum der abstrakten Mathematik (man denke an die Abstraktion des Hilbert-Raumes oder der Wellenfunktion) und sie helfen uns, dass wir uns auch in der Welt der Quanten in völliger logischer Klarheit bewegen können. Die Mathematik erweist sich in diesem Zusammenhang als die tauglichste Sprache im Bereich des für den Menschen Unvorstellbaren. 

Doch nun noch ein paar Worte zu den „Axiomen“, die als Grundlage für eine mathematische Theorie (hier der Geometrie der Ebene) vor etwa 2300 Jahren der berühmte griechische Mathematiker Euklid eingeführt hat. Seine „Elemente“ gelten auch heute noch als eine mustergültige mathematische Theorie, an der besonders erstaunt, wie sich mit wenigen Grundannahmen ein hervorragend funktionierendes mathematisches Modell entwickeln lässt, welches mit großer Exaktheit die Geometrie unsere Welt beschreibt. Das Wesen der axiomatischen Methode lässt sich vielleicht am besten erkennen, wenn man „Axiome“ mit „Spielregeln“ übersetzt. Das Schachspiel ist dann ein Spiel, welches auf ein für alle Mal festgelegten Spielregeln beruht, die weder in Frage gestellt werden, noch deren Ursprung weiter hinterfragt wird. Vielmehr werden von den Spielern gewaltige Anstrengungen unternommen um zu ergründen, ob man unter exakter Einhaltung dieser Regeln in einer speziellen Spielsituation das Spiel gewinnen kann. Also im Prinzip die gleiche Methode, die ein Mathematiker oder theoretische Physiker anwendet, der am Ende wissen möchte, ob sich mit dem verwendeten Axiomensystem (oder der physikalischen Theorie) ein gerade interessierendes Problem lösen lässt oder nicht. 

Die Idee übrigens, dass jede mathematische Theorie auf Axiomen beruhen sollte, geht auf David Hilbert (1862-1943) zurück. Er war der Meinung, dass sich jeder mathematischen Aussage, die innerhalb eines widerspruchsfreien Axiomensystems formuliert werden kann, das Prädikat „wahr“ oder „falsch“ zuordnen lässt. Aber so ist es interessanterweise nicht, wie der geniale Logiker Kurt Gödel (1906-1978) im Jahre 1931 bewiesen hat (Sie kennen vielleicht „Gödels Theorem, Sumpf, Pferd und Schopf…“). Er wies nämlich in seinen berühmten Unvollständigkeitssätzen nach, dass man in einer axiomatisch aufgebauten Theorie immer Aussagen finden kann, deren Wahrheitswert innerhalb des Systems nicht feststellbar ist. Auch gibt es - beispielsweise in der Arithmetik - mathematische Sätze, die zwar wahr sind, deren Wahrheitswert sich aber innerhalb des Axiomensystems prinzipiell nicht beweisen lässt. Mittlerweile konnten übrigens Mathematiker schon einige Aussagen finden, die sich in den entsprechenden Axiomensystemen nicht beweisen lassen. 

Wer sich die Mühe machen möchte, die Gödelschen Sätze und ihre Implikationen zu verstehen, dem sei das Kultbuch von Douglas R. Hofstädter „Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band“ ans Herz gelegt. Darin lernt man u. a., dass die geniale Entdeckung Kurt Gödels nicht nur in der Mathematik von Bedeutung, sondern von allgemeiner Natur ist. Kernpunkte sind dabei Aussagen, die so etwas wie eine Selbstbezüglichkeit aufweisen und deshalb zu semantischen Paradoxien der Art „Alles, was ich sage, ist Lüge“, führen.

Der nicht immer einfache, aber wahrlich durchkomponierte Text wird dabei durch die Grafiken des niederländischen Grafikers Maurits Cornelis Escher (1898-1972) aufgelockert, auf die auch im Text immer wieder eingegangen wird. Auch sie sind hochgradig paradox, denn sie stellen entweder Unmöglichkeiten (man denke an die Grafiken „Treppauf, Treppab“ und „Wasserfall“) oder erstaunliche Flächenparkettierungen (z. B. „Metamorphosis I“ oder „Day and Night“, sogenannte Escherkacheln) dar. Bemerkenswert ist auch Eschers Versuch, die "Unendlichkeit" bildhaft darzustellen. Er fand, ausgehend von seinen Parkettierungen, zwei Lösungen dafür. Die eine besteht darin, von der Ebene zu einer randlosen Fläche überzugehen und die andere in der Verwendung nichteuklidischer Geometrien, wie sie z. B. von dem russischen Mathematiker Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792-1856) entwickelt wurden. Auf diese Weise sind übrigens seine berühmten Schlangen- und Fischmotive entstanden. Escher ist weiterhin auch ein gutes Beispiel dafür, wie sich Mathematik und Kunst gegenseitig befruchten können. Denn selbst Formeln, die einem normalen Betrachter trocken und nichtssagend vorkommen, können bei einem Kenner der Materie durchaus einen eigenen ästhetischen Reiz entwickeln. 

Das Paradebeispiel dafür ist die von Leonhard Euler 1748 entdeckte Beziehung 

Sie verknüpft zwei transzendente Zahlen, nämlich die Eulersche Zahl e (die Basis der natürlichen Logarithmen) mit der Zahl Pi, dem Verhältnis von Kreisumfang zu dessen Durchmesser mit der Wurzel aus (-1) (= der imaginären Einheit i) zu einem Wert -1. Und das ist wirklich so, wie sich leicht beweisen lässt. Trotzdem ist es irgendwie erstaunlich und geheimnisvoll, wie zwei Zahlen, die sich nicht mal als Brüche darstellen lassen und bei der die eine für „exponentielles Wachstum“ und die andere mit allem, was mit Kreisen zu tun hat, zuständig ist, zusammen mit der „unmöglichen Zahl“ (Wurzel aus (-1)) genau -1 ergibt (der Mathematiker nennt das „Eulersche Identität“).